Наверх

ОбразованиеЕГЭ в ОмскеМатематика-2012

Математика-2012

Скачать бланк ответов №1

Скачать бланк ответов №2

На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

  • Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.
  • Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки. При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Часть 1

Ответом на задания В1–В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1 Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

В2 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

В3 Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В4 Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Постав­щик

Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 )

Стоимость доставки (руб.)

Дополнительные условия доставки

А

2 600

10 000

Нет

 

 

 

При заказе товара на

Б

2 800

8 000

сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная

 

 

 

При заказе товара на

В

2 700

8 000

сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная


В5 Найдите корень уравнения log3( x - 3) = 2.

В6 Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC , если угол BAC равен 32° .

B7 Найдите sin α, если cos α = 0,6 и π<α<2%.

B8 На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3,..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

В9 Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.

 

В10 В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

В11 Объём первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м3).

В12 Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h (t) = -5t2 +18t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

В13 Весной катер идёт против течения реки в 1 2/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

В14 Найдите наибольшее значение функции

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

Часть 2

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

С1 а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.

С3 Решите систему неравенств

С4 На стороне BA угла ABC , равного 30о , взята такая точка D, что AD = 2 и BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

С5 Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение 
функции f (x) = 2ax + | x2 − 8x + 7 | больше 1.

С6 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно - 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Система оценивания демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

ЗаданиеОтвет
B15
B25
В318
В4192000
В512
В664
В7- 0,8
В83
В95
В100,92
В119
В122,4
В135
В141


Ответы к заданиям части 2

ЗаданиеОтвет
C1
C230о
C3(2; log2 11]
C41 и 7
C5
C6а) 44; б) отрицательных; в) 17


Решения и критерии оценивания заданий части 2

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

С1 а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение

а) Так как cos 2x = 1 - 2sin2x, , то 1-2 sin2x = 1-sin x, 2 sin2x-sin x=0, .

Корни уравнения: x = π n,

б) Корни уравнения sin x = 0 изображаются точками A и B , а корни уравнения  - точками C и D , промежуток  изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:  и .

 

Ответ:

Другие решения пункта б).

б) Корни, принадлежащие промежутку , отберем по графику y = sin x . Прямая y = 0 (ось Ox ) пересекает график в единственной точке (−2π;0), абсцисса которой принадлежит промежутку .

Прямая  пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат  (см. рис.). Так как период функции y = sin x равен 2π , то эти абсциссы равны, соответственно, .

В промежутке  содержатся три корня: .

б) Пусть . Подставляя n = ...− 3, − 2, −1, 0, 1, 2, ..., получаем x = ...− 3π,− 2π, − π, 0, π, 2π, .... Промежутку , принадлежит только x = −2π .

Пусть . Подставляя k = ...− 3, − 2, −1, 0, 1, 2, ... , получаем:

Промежутку  принадлежат только .

Промежутку  принадлежат корни: .

б) Отберем корни, принадлежащие промежутку .

Пусть . Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку

Пусть

Тогда

Корень, принадлежащий промежутку .

Пусть .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку .

Промежутку  принадлежат корни: .

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б)2

Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведен обоснованный отбор корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0
Максимальный балл2


С2 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а диагональ боковой грани равна √5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.

Решение.

Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник A1BC – равнобедренный, отрезки AH и A1H перпендикулярны BC. Следовательно, ∠A1HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1. Из треугольника A1AB найдём: AA1 = 1.

Из треугольника AHB найдём: AH = √3 .

Из треугольника HAA1 найдём:

 

 

 

Ответ: 30о

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) ;

Б)  рад;

В)  ит.п.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

C3 Решите систему неравенств

Неравенство 4x ≤ 9 ⋅ 2x + 22 запишем в виде ( 2x)2 − 9 ⋅ 2x − 22 ≤ 0 . Относительно t = 2x неравенство имеет вид: t2 − 9t − 22 ≤ 0 , откуда получаем: (t + 2)(t −11) ≤ 0 , −2 ≤ t ≤11.

Значит, −2 ≤ 2x ≤11, x ≤ log211.

2. Второе неравенство системы определено при

то есть при x < −1 и x > 2.

При допустимых значениях переменной получаем:

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:
2 < x ≤ 2 + √3 .

3. Сравним log211 и 2 + √3 . Так как √3 > √2,25 =1,5, то

2 + √3 > 3,5 = log2 (8⋅ √2) > log2 (8⋅1,4) = log2 (11,2) > log211, следовательно, log211< 2 + √3 .

Решение системы неравенств: (2; log211]  .

Ответ: (2; log211].

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков

2

Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3


Комментарий
. Если обоснованно получены оба ответа: x ≤ log211 и 2 < x ≤ 2 + √3 , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что log211< 2 + √3 , то такое решение оценивается в 2 балла.

C4 На стороне BA угла ABC, равного 30o, взята такая точка D, что AD = 2 и BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Решение.

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30° находим,
что .

Так как OA = R и AP =1, получаем: , следовательно, .

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим:

В результате получаем уравнение: .

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7.

Другое решение.

Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей BQ2 = BA*BD = (BD + DA)⋅ BD = (1+ 2)⋅1= 3, откуда BQ = √3 .

Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC, проведённого через точку Q. Из прямоугольного треугольника BQO находим:

Таким образом, точка O удалена от точек A, D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.

Пусть теперь точка Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q перпендикулярно BC, пересекает прямую AB в точке H, а окружность вторично – в точке T . Тогда

Если R – радиус окружности, то QT = 2R. По теореме о двух секущих HQ⋅HT = HA⋅HD, то есть 1⋅ (1+ 2R) = (2 + 3)⋅3, откуда находим, что R = 7.

Ответ: 1 или 7.

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Рассмотрена    хотя    бы    одна    возможная    геометрическая конфигурация,   для   которой   получено   правильное   значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок

2

Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3


C5 Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f (x) = 2ax + | x2 − 8x + 7 | больше 1.

Решение.

1. Функция f имеет вид:

a) при x2 − 8x + 7 ≥ 0: f (x) = x2 + 2(a − 4)x + 7, а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x = 4 − a;
б) при x2 − 8x + 7 < 0: f (x) = − x2 + (2a + 8)x − 7, а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции f (x) показаны на рисунках:

2. Наименьшее значение функция f (x) может принять только в точках x = 1 или x = 7, а если 4 − a∉[1; 7] – то в точке x = 4 − a .

3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда, когда

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

4

Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки

3

Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна

2

Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4


C6 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k −8l + 0⋅m = −3(k + l + m) .

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство 4k −8l = −3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m . Так как m ≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k, откуда l > k . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

Воценка) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k −8l = −3(k + l + m): 4k − 8l = −132 , откуда k = 2l − 33. Так как k + l ≤ 44 , получаем: 3l − 33 ≤ 44, 3l ≤ 77, l ≤ 25, k = 2l − 33 ≤17; то есть положительных чисел не более 17.

Впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0.

Тогда , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Содержание критерия

Баллы

Верно выполнены: а), б), впример), воценка)

4

Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример), воценка)

3

Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример), воценка)

2

Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример), воценка)

1

Решение    не    соответствует    ни    одному    из    критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Все тесты по ЕГЭ

 

Скачать бланк ответов №1

Скачать бланк ответов №2

Рассказать

Наши партнеры:

Добавить комментарий
Текст *:
Информация о пользователе
Ваше имя *:
Ваш e-mail:
 
Укажите цифры с картинки *:
Зарегистрируйтесь и авторизуйтесь на сайте, чтобы задавать вопросы без проверочного кода.

Комментарии пользователей (всего 8):

наталья 21.02.2014
т.к m - это колличество нулей, то они или есть, или их нет, то есть m не может быть отрицательной.
У нас было равенство 5l = 7k + 3m, а 3m ≥ 0, то 5l ≥ 7k
При l стоит меньший коофициэнт, чем при k (5 меньше 7), но все равно 5l ≥ 7k, то из этого следует, что l > k
эльвира 20.02.2014
объясните пожалуйста как вы это сделали- "m ≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k, откуда l > k ",почему 5l ≥ 7k?
натальяэльвира [гость] 21.02.2014
т.к m - это колличество нулей, то они или есть, или их нет, то есть m не может быть отрицательной.
У нас было равенство 5l = 7k + 3m, а 3m ≥ 0, то 5l ≥ 7k
При l стоит меньший коофициэнт, чем при k (5 меньше 7), но все равно 5l ≥ 7k, то из этого следует, что l > k
катя 26.04.2012
помогите пожалуйста решить : Найдите наименьшее значение функции y = 1-2sin x
Len4ik13666катя [гость] 13.05.2012
-2sin x= -1
sin x = 1/2
x1 = п/6 + 2пn, где n принадлежит Z
x2 = 5п/6 + 2пn, где n принадлежит Z
катяLen4ik13666 [гость] 21.05.2012
7. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если А(– 1; – 2), В(– 1; 2), С( 2; 2), D( 2; - 2). (За единицу измерения принять 1 клетку). Помогите пожалуста
Ингакатя [гость] 26.05.2012
С начало надо на координатной плоскости отметить эти точки, получается прямоугольник со сторонами 3 и 4, подставить эти значения в формулу S=а*в, S=3*4=12.
КРИСТИНА 04.02.2012
Хочу подготовиться к ЕГЭ

Поступление-2013

Ближайшие экзамены

Информация будет опубликована, как только появится официальное расписание ЕГЭ-2013

Проверка слова

Вопросы по ЕГЭ

Иван спрашивает:

Вопрос: Помогите решить задачу по математике

Иван отвечает:

Ответ: задача из олимпиады для 8 класса, неужели никто не знает решение???????????...

дима отвечает:

Ответ: ну и задачки у вас в школе!!!! а какой это класс???

Наши партнёры: